A. N. Kolmogorov (1903-1987)

Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov  (1903 – 1987) est certainement un des mathématiciens les plus importants du XXème siècle. Son nom est particulièrement associé à la Théorie des Probabilités, la Théorie des Systèmes dynamiques, la Théorie de l’Information et la Topologie.

Kolmogorov a mené une carrière extrêmement rapide et brillante. Entré à l’Université de Moscou en 1920, à l’âge de 17 ans, il publie des résultats remarquables dès 1922. Avant même d’obtenir son diplôme et de bénéficier d’un statut de chercheur, il publie de très nombreux articles. Il y est nommé professeur en 1931, puis il devient directeur du département de mathématiques et statistiques.

En   1941 Kolmogorov   étudia   la répartition de l’énergie entre les différents degrés  de liberté d’un écoulement turbulent développé. Il utilise l’approche statistique pour comprendre la théorie de la turbulence tout en se limitant à une gamme d’échelles intermédiaires, appelée zone inertielle. Dans la limite de cette hypothèse, Kolmogorov suppose que l’énergie est transférée de façon conservative entre les différents degrés de liberté du système. En d’autres termes, Kolmogorov avance l’hypothèse que cette cascade est auto-similaire : les tourbillons se divisent tous de la même manière quelle que soit leur échelle.

Ainsi il suppose que dans cette gamme d’échelles l’écoulement se comporte comme un système thermodynamique isolé, dans la mesure où la zone inertielle ne prend en compte ni la très grande échelle où l’énergie est injectée dans le système par les forces extérieures, ni la très petite échelle où L’énergie est extraite par dissipation visqueuse. Par des arguments d’analyse dimensionnelle, il exprime la loi en -5/3 qui caractérise l’auto-similarité de la turbulence.

La dimension de Kolmogorov est l’échelle spatiale à partir de laquelle l’écoulement devient visqueux (Re=1) et permet de dissiper l’énergie cinétique de l’écoulement.

Elle correspond à la taille des petits tourbillons qui incarnent ce phénomène.

Il n’y a pas de tourbillons plus petits, car cette échelle est la limite de l’écoulement étudié, là où l’énergie initialement donnée au fluide se dissipe.

Ce processus appelé cascade d’énergie : la division des grands tourbillons en tourbillons plus petits permet un transfert d’énergie des grandes échelles vers les petites échelles. Ce processus est limité par l’effet de la dissipation moléculaire, qui empêche les variations de vitesse trop importantes.

Kolmogorov forced turbulence

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