Convergence d’une simulation numérique

Version pdf de cet article, [edmc_show id= »1820″]

En volumes finis, pour chaque équation de transport et pour chaque volume de contrôle nous devons résoudre une équation algébrique du type (éq. 1).

               (1)

est la solution exacte de l’équation.

En calcul itératif, nous sommes obligé de commencer par une évaluation de la solution qui ne vérifie pas automatiquement l’équation à résoudre. En injectant cette solution estimée qu’on va noter , l’équation ne sera pas vérifiée et au lieu d’avoir un zéro comme balance, on va retrouver une petite valeur qu’on va nommer résidu (éq. 2).

            (2)

Si le problème à résoudre est bien posé, normalement ce résidu doit diminuer au fur et à mesure qu’on avance dans les itérations.

La question qui se pose maintenant est comment décider l’arrêt du calcul itératif ?

  1. Une des possibilités de déclarer la convergence d’un calcul est justement le suivi de la variation de ce résidu.

IMPORTANT: Une des erreurs fréquentes effectuée par beaucoup d’étudiants quand ils utilisent les codes commerciaux. Après le lancement du calcul, ils jettent un coup d’œil rapide sur l’évolution graphique des résidus pour vérifier qu’effectivement la variation des résidus est décroissante. Ensuite, dès que le calcul s’arrête, ils jugent de la convergence de la simulation sans vérifier si le calcul s’est arrêté parce que le résidu est inférieur à la valeur ciblée ou que le nombre des itérations maximale prescrit est atteint. Trop souvent c’est ce dernier critère qui a été vérifié alors que la solution est loin d’être convergente.

L’approche utilisée par la plupart des code CFD est de faire la somme des résidus de tous les volumes de contrôle, élever au carrée et prendre la racine. L’issue de cette opération sera ensuite normalisée par le flux massique que multiplie la variable transportée. Cette quantité appelée RMS Res (pour Root Mean Square Residu) est calculée pour chaque équation résolu (éq. 3).

            (3)

Ensuite pour déclarer la convergence il faut que la valeur maximale des RMS Res soit inférieur à une limite définit par l’utilisateur.

Par exemple, dans ANSYS CFX le nombre des itérations maximale est fixée par défaut à 100 et le résidu ciblé est de 10^-4. Notez aussi que CFX n’inclue pas le résidu des équations du modèle de turbulence (k-eps, Reynolds stress components, and turbulent heat flux components) dans ce test.

CFX donne les directives suivantes pour utiliser le critère RMS Res :

10^-4    est une limite suffisante pour une analyse qualitative et pour beaucoup d’applications d’engineering.

10^-5     bonne convergence : suffisante pour la majorité des applications d’engineering

10^-6     Très bonne convergence : utilisée pour des géométries assez complexe. Pour assurer ce niveau de convergence il faut passer en double précision.

2-    Une autre variante, moins utilisée que la précédente, est de suivre l’évolution du résidu maximale. Notez que cette valeur est habituellement beaucoup moins grande (10 à 100 fois)  que les RMS Res. Cette approche permet d’isoler des zones critiques du domaine de calcul où le résidu est maximal (par exemple, zones d’instabilités liées au décollement ou le rattachement de la couche limite). La solution peut éventuellement être acceptée si on s’assure que ces zones sont limitées et n’influent pas sur les quantités ‘output’ importantes du problème. On peut aussi tenter d’améliorer la qualité de la grille du calcul dans ces zones.

3-   Il est aussi utile de vérifier la conservation globale sur tout le domaine de calcul. Par exemple toujours comparer les flux sortants aux flux entrants. Ces informations sont habituellement données par les codes de calcul à la fin de chaque simulation.

4-   Quand le calcul cible des quantités physiques spécifiques du problème (nombre de Nusselt, coefficients de portance, de frottement ou autres), il est utile de suivre l’évolution de ces quantités et n’arrêter les calculs qu’après stabilisation de ces quantités. Il faut s’assurer que des itérations supplémentaires n’influent pas sur les valeurs de ces quantités ciblées. Par cette approche on peut aussi détecter l’amorcement des instabilités ou de l’instationnarité.

5-  Certains codes commerciaux comme le CFX donne accès à une variable appelée Convergence rate. Cet indicateur est définit par l’équation 4.

        (4)

Où   et   se rapportent à la présente et à la précédente itération respectivement.

Les valeurs inférieures à 1 de cet indicateur indiquent l’évolution des calculs vers la convergence de l’état stationnaire. Des valeurs de l’ordre de 0.95 sont habituelles alors que des valeurs plus petites de l’ordre de 0.85 indiquent une très bonne convergence. Par contre si vous obtenez des valeurs plus grandes que 0.95, cela veut dire que la convergence est très lente. Dans des cas pareil il faudra peut-être augmenter le pas de temps ou les coefficients de relaxation.

Ce contenu a été publié dans Cours, avec comme mot(s)-clé(s) , , . Vous pouvez le mettre en favoris avec ce permalien.

3 réponses à Convergence d’une simulation numérique

  1. anhare dit :

    hi
    thanks for you answer and for this article which is very clear

  2. Abbès Azzi dit :

    @Anhare, thanks a lot for your comment.
    Staggered grid is a way to say that the scalar variables (pressure, temperature, turbulence kinetic energy and its dissipation) are located at the center of the control volume, while the velocity components are located at center of the control volume faces. So, the velocities grids are staggered relatively to the other scalars grids. Look at figure here http://www.abbesazzi.com/la-methode-des-volumes-finis-%E2%80%93-04/
    This technic was adopted earlier to avoid the checkerboard problem. But with the Rhie & chow interpolation we can use a non-staggered grid which is much simple and easier to handle when creating the numerical code.
    Hope this is useful for you
    Regards

  3. anhare dit :

    hi
    First I want to thank you for this site which is very well presented ,I want to know the definition of a staggered mesh and when we can used.
    thank you in advance

Les commentaires sont fermés.