La méthode des différences finies – 01

La pierre angulaire de la méthode des différences finies, est bel est bien le développement en série de Taylor. Brook Taylor, cet élève qui devint plus célèbre que ces professeurs, découvrit les séries appelées ‘développement de Taylor’. Par sa découverte, Taylor a mis entre nos mains le moyen de prédire la valeur d’une fonction en un point donné en fonction de sa valeur et la valeur de ces dérivées en un autre point tout proche du premier.

C’est bien à partir de cette série, qu’on peut obtenir les schémas algébriques pour remplacer les dérivées dans une équation de type EDP (Equation aux Dérivées Partielles). C’est la base même de la méthode des différences finies et des autres méthodes déduites de celle-ci. Tout le reste n’est qu’annexes servant à parler de stabilité, consistance, erreurs de troncature et autres.

Vous l’aurez compris, toute la philosophie de cette méthode est d’essayer de prédire ce qui se passerait dans un laps de temps sur la base de ce qui se passe à l’instant (valeur instantanée) et les tendances de changement actuelles (les dérivées successives). Ceci est vrai pour le temps mais aussi pour l’espace. Cette prédiction est d’autant plus juste que l’incrémentation est petite et/ou que les lois de changement et d’évolution sont connues.

Mon cours de différences finies, je le divise habituellement en trois grands chapitres classés par ordre de complexité. J’aime aussi construire mon cours autour d’exemples à résoudre ce qui permettra d’apprendre tout en appliquant.

Il est aussi important de dire que les équations de transport dont il est question en MDF, comportent essentiellement un terme non stationnaire, un terme de transport par convection, un terme de transport par diffusion et enfin un terme source.

La partie diffusion est la plus simple à traiter, puisqu’en générale le coefficient de diffusion est assimilé à une constante, d’où une équation linéaire plus simple à traiter. L’équation de Fourier, relative au transfert de chaleur par conduction et en régime non stationnaire sera l’exemple à résoudre durant toute la première partie du cours. Dans cette partie il est question d’introduire l’étudiant aux schémas numériques de base aussi bien pour l’espace que pour le temps. Les notions de précision (erreurs de troncature), de stabilité et de consistance compléteront cette première partie.

Dans un deuxième temps, la partie diffusion sera retraitée par l’approche des volumes finis. Les mêmes exemples seront repris et discutés sur la base de cette méthode. Tout comme pour les différences finies, la méthode des volumes finis repose sur un principe de base qui est le théorème de la divergence. Ce principe permet de substituer une intégrale de volume par une intégrale de surface. Cette partie du cours correspond à ce que je donne habituellement aux étudiants de graduation.

Les termes de convection sont non linéaires et par conséquent plus compliqués à traiter. Il s’agit là, d’un mouvement macroscopique de fluide, à qui on doit adapter les schémas de convection en fonction de la direction de l’écoulement. Cette partie sera traitée directement par la méthode des volumes finis et portera sur la dualité précision-stabilité. Les différents types de schéma et leurs propriétés seront étudiés à travers des exemples d’applications. En générale, je réserve cette partie pour les étudiants de post-graduation, mais n’empêche que des fois avec des étudiants studieux en graduation, on peut aborder une partie de ce chapitre.

La troisième partie du cours, concerne la résolution des systèmes d’équation (Navier-Stokes). A travers ce système d’équations quasi-non linéaires et couplées j’introduis les algorithmes de correction de pression utilisés pour les équations de fluides incompressibles. La partie compressible ne fait pas encore partie de ce cours.

Une nouvelle version du polycopié est en cours de révision:

1ere partie, le reste suivera

Programme Fortran, Diffusion 2D en différences finies

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8 réponses à La méthode des différences finies – 01

  1. mourad dit :

    merci professeur pour les cours

  2. DERRAR dit :

    merci, ça m a vraiment aider.
    des gens comme vous font la lumière pour que les autres passent et continuent la marche de la voie sans fin du savoir

  3. Arturo dit :

    essalamo alaikom ,Mr aziz votre cite est vmeriant extra vous faite un travail formidable on trouve tous ce qui concerne la MDF, voila je suis en 2 e9me anne9e doctorant est je travail sur la simulation des incendie en tunnel (j’ai rien fais pour le moment) je commence juste a programmer les e9quations de N.S incompressible en 2 D en cavite9 rectangulaire avec la me9thode des volumes finis , mais apre8s je ne sais pas , svp , est ce que tu peu m’orienter ou m’aider sur la fae7on dont je dois suivre pour entrer dans le sujet merci d’avance

  4. ziaya dit :

    je vais un programme fortran sur le théme etude de la méthode d’homogénesation d’un palier hydrodynamique rugueux en régime turbulent merci

  5. Toufik dit :

    Voila encore un document qui sert de base pour ceux qui s’intéressent aux différences finis là où le manque est flagrant.
    merci M. Azzi. , Baraka ALLAHU fik.
    Cordailement
    Tche

  6. souhila dit :

    bonjour

  7. Abbès Azzi dit :

    mon souhait est que ça peut aider quelque part, bonne chance

  8. Youcef dit :

    Je suis étudiant a l’université de Boumerdès, et j’avoue que votre site est très utiles, très riche et le plus beau, c’est que c’est bien organisé. Merci Allah eydjazik !

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