La méthode des volumes finis – 03

Algorithmes de couplage pression-vitesse

Les équations de Navier-Stokes en version fluide incompressible présentent deux difficultés majeures. Premièrement, elles sont quasi-non linéaires et ensuite elles sont faiblement couplées. La non-linéarité est contournée par un calcul itératif. On choisissant un schéma numérique stable, les erreurs introduites par la solution initiale sont amorti et la procédure convergera facilement vers une solution finale acceptable. Le problème du couplage se manifeste par l’apparition des variables vitesse et pression dans les trois équations de quantité de mouvement. Le gradient de pression qui apparait comme terme source dans ces équations joue le rôle du moteur de l’écoulement. Malheureusement, on ne dispose d’aucune équation de transport pour cette quatrième variable qu’est la pression (les trois autres étant les trois composantes de la vitesse). En d’autres termes, si le gradient de pression est connu à priori on peut calculer le champ vitesse qui dans ce cas vérifie bien l’équation de continuité. Malheureusement, la pression est toujours une inconnue à déterminer aussi bien que la vitesse. Un champ de vitesse donné peut satisfaire l’équation de continuité sans pour autant vérifier les équations de transport de quantité de mouvement. Cette particularité des équations rend nécessaire l’utilisation d’un algorithme de couplage pression-vitesse. Le problème est un peu similaire à la non-linéarité des équations elles-mêmes. L’approche à suivre sera donc de même nature et elle est sensé résoudre les deux problèmes en même temps. L’algorithme le plus universel et le plus utilisé est sans doute l’algorithme SIMPLE de Patankar et Spalding (1972). Ce chercheur d’origine hindou a été le premier à avoir proposé cet algorithme qui lui a valu une célébrité internationale et un nombre presque infini de citations à chaque fois qu’un écoulement incompressible est résolu. La marche à suivre est tout à fait logique et intuitive. On suppose un champ de pression initial qu’on injecte dans les équations de quantité de mouvement. On résout le système pour trouver un champ de vitesse intermédiaire (qui n’est pas juste puisque la pression ne l’est pas). L’équation de continuité est transformée pour devenir une équation de correction de pression. Elle est résolue pour trouver une correction de pression qui permettra de réinjecter une nouvelle pression dans les équations de quantité de mouvement. Le cycle est répété autant de fois que nécessaire jusqu’à l’obtention d’une correction de pression nulle, signe de la convergence de l’algorithme.

L’autre problème majeur rencontré lors de cette démarche est celui connu sous le nom du problème du damier (checker-board). Le fait de remplacer la pression sur les facettes des volumes de contrôle par une interpolation linéaire de sa valeur aux centres des volumes de contrôle voisins fait que la pression n’est prise en considération que dans un point sur deux. Le risque vient du fait qu’un champ de pression très perturbé ne peut pas être capté par cette formulation. Pour contourner ce problème, des grilles de calculs dites décalées sont proposées et adoptées par Harlow & Welch, (1965). Dans cette technique, une première grille pour la pression (et les autres quantités scalaire) est placée au centre du volume de contrôle. Alors que d’autres grilles décalées sont adoptées pour les trois composantes de la vitesse. Cette technique introduit des complications d’implémentation surtout sur les frontières du domaine de calcul.

Pendant longtemps, il a été établi que c’était la seule approche pour contourner ce problème et la technique est systématiquement utilisée à chaque fois que l’algorithme SIMPLE est utilisé. En 1982, deux jeunes chercheurs, Rhie & chow proposèrent dans une thèse Ph.D, une variante assez astucieuse pour contourner le problème tout en utilisant une seule grille de calcul. Bien que l’approche proposée soit très efficace, son succès a été retardé d’une dizaine d’année. Actuellement, quasiment tous les codes CFD commerciaux et même beaucoup de codes de recherche récents, adoptent cette technique qui simplifie énormément l’écriture et aussi l’implémentation des conditions aux limites surtout pour les grilles de calcul non structurée.

Dans ce chapitre il est question de présenter aussi bien l’algorithme SIMPLE que les variantes SIMPLER, SIMPLEC et PISO.

Quatrième partie du polycopié: http://www.abbesazzi.com/wp-content/uploads/2011/07/MN-I-ver01-part04-Couplage-pression-vitesse.pdf

Staggered grid : Harlow, F., Welsh, J. “Numerical Calculation of Time-Dependent Viscous Incompressible Flow with Free Surface”, Physics of Fluids, vol.8, pp. 2182-2189, 1965.

SIMPLE: Patankar, S. V., Spalding, D. B.“A Calculation Procedure for Heat, Mass and Momentum Transfer in Three Dimensional Parabolic Flows”, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol.15, pp. 1787-1806, 1972.

SIMPLER: Patankar, S. V., “Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”, Series in Computational Methods in Mechanics and Thermal Sciences, Hemisphere, New York, 1980.

SIMPLEC: van Doormal, J. P., Raithyb, G.D., “Enhancements of the SIMPLE Method for Predicting Incompressible Fluid Flow”, Numerical Heat Transfer, vol. 7, pp. 147-163, 1984.

PISO: Issa,  R.  I.,“Solution  of  the  Implicitly  Discretised  Fluid  Flow  Equations  by  Operator-Splitting”, Internal Report, Dept. of Min. Resources Engineering, Imperial College, London, 1982.

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14 réponses à La méthode des volumes finis – 03

  1. Abbès Azzi dit :

    tu peux regarder sur ma thèse, il y a un chapitre dédié spécialement pour les schémas à limiteur; MUSCLE, TVD …

  2. Rahli omar dit :

    bonjour Mr AZZI
    avez vous de la documentation concernant les limiteur de flux pour les shémas quick (ULTRASHARP , TVD)
    merci pour votre aide

  3. Abbès Azzi dit :

    merci Mohamed pour ton message et désolé de n’avoir pas répendu à ton coup de fil, j’ai juste oublié de te rappeler.
    pour les anciens posts, ils sont tous sur le blog, regardes à droite: Articles recents
    merci et bonne chance

  4. ASSAL Mohamed dit :

    Bonjour Prof Abbes Azzi,
    j’espère que vous allez bien
    J’ai essayé de vous joindre par téléphone,

    Vous avez un site top, ce que vous faite c’est aussi génial est qu’il est qu’il est possible de recevoir des nouveautés et tous ce que vous avez publié ( anciennes publications) sur ma boite email assalmed@gmail.com.
    j’attends votre feedback

    au plaisir de vous rencontrer a Oran.

    Merci

  5. Aymenk dit :

    J’étais le premier a répondre sur ce tutoriel de FVM, je retire ce que j’ai dis, mon sujet de thèse de magister à l’école doctoral à Béchar; intitulé « Modélisation des écoulements à surface libre » m’a forcé de travaillé avec cette méthode parce que c’est la seule méthode conservatrice, et sans le FVM je ne saurais pas arrivé aux résultats que vous pouvez voir sur YouTube
    http://www.youtube.com/channel/UCBxM-TRE9IBbqrGEBO2MuZw?feature=watch

  6. Hadj Achour Miloud dit :

    Merci pour ce site et pour les cours !! Barak Allah fik

  7. mohemad dit :

    je tester

  8. Toufik dit :

    Essalamu alikum
    un grand merci est indisponible pour tout ce que vous faite M.AZZI, merci encore.
    permettez moi de vous demander si vous avez traité l’autre approche de la méthode FVM je veux dire par là , l’approche -Nonstaggered grid (or collocated grid)- , & si un cours (polycope) de votre part existe, sinon voudriez vous le formuler … se sera très intéressant.
    encore je profite de cette occasion, vue l’importance de vos cours & vos effort & le besoin & l’intérêt que nous autre étudients et chercheurs Algérien portons sur cette démarche, une présentation audiovisuelle de vos cours comme le MIT & d’autre université le font fera sans doute le bonheur scientifique de chacun de nous.

    Cordialement

  9. Abbès Azzi dit :

    bonjour
    la méthode des volumes finis c’est une approche numérique pour résoudre les eq. des écoulements et du transfert. elle est utilisée par fluent et par d autre logiciel CFD.
    il y a quelques indications sur mon blog et les poly, qui vont avec.
    sinon, si vous êtes sur oran, vous pouvez aussi assister aux cours de PG qu’on va lancer juste après les vacances.
    je reste a votre disposition et dans la mesure du possible pour répondre a vos interrogations.
    bonne chance

  10. louiza dit :

    salut
    je n’arrive pas a saisir le concept de la methode des volumes finis et elle est utiliser par le logiciel fluent; c’est le comment qui me bloque
    merci pour votre aide

  11. Abbès Azzi dit :

    il faut consulter l’article: La méthode de volumes finis 2, et la partie 2 du polycopié, c’est très bien expliqué.
    http://www.abbesazzi.com/schemas-de-convection/

  12. IMENE dit :

    je oudrai comprendre bien la methode de schema upwind svp

  13. Abbès Azzi dit :

    merci de développer un peu, je n’arrive pas à saisir le sens

  14. Aymenk dit :

    La méthode des volumes finis n’est pas aussi populaire que celle des différence finis, d’où l’utilisation avec précaution …

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