La méthode des volumes finis – 01

La méthode des volumes finis est l’approche par excellence utilisée en MDF numérique. Elle repose sur un principe aussi valable en vie courante, en politique qu’en démarche scientifique. Je parle bien sûr du principe ‘diviser pour régner’. Je ne dirais rien sur son efficacité ou sa moralité en politique ou en gestion des personnes, mais en tant qu’approche scientifique c’est très efficace. En face d’un problème complexe impossible ou très difficile à résoudre, la méthode la plus efficace est de le subdiviser en plusieurs petits problèmes beaucoup plus facile à résoudre. Et pas de soucis si le résultat est un millier ou un million de petit problèmes. Des calculateurs très sophistiqués et de plus en plus rapides sont là pour entrer en action. Et si un ou plusieurs éléments posent des problèmes un peu particuliers (une singularité, des conditions d’interface, des frontières…) on peut leurs réserver un traitement à part.

Donc l’approche consiste à diviser le domaine de calcul en plusieurs petits volumes qui ne se chevauchent pas et dont la somme fait exactement le volume du domaine de calcul à étudier. C’est très important pour assurer le principe de conservation et surtout la conservation des flux entre l’entrée et la sortie du domaine de calcul.

Ensuite vient le principe de base de la méthode qui n’est autre que le théorème de la divergence (Ostrogradski) qui consiste à changer une intégrale de volume en intégrale de surface. L’application de ce théorème tout en utilisant des schémas de différences finies pour le dérivées partielles, donne naissance à des équations algébriques qu’on pourra ensuite résoudre via des méthodes directes ou indirecte.

La façon de présentation ou d’arrangement des équations en volumes finis est très élégante. J’utilise cet adjectif, parce que je trouve vraiment très jolie la présentation de cette équation sous forme de coefficient ap affecté à la variable au centre du volume de contrôle en fonction des autres valeurs au centre des volumes voisins plus un terme source. Ceci conduit à un traitement assez astucieux et pratique pour les volumes situés aux frontières du domaine de calcul. Je ne vais trop m’étaler sur cette approche, elle sera reprise à l’intérieur du cours.

Deuxième partie du polycopié des méthodes numériques :

http://www.abbesazzi.com/wp-content/uploads/2011/06/MN-I-ver01-part02.pdf

Les fichiers source du programme Fortran pour des exercices de diffusion en 1D.

http://www.abbesazzi.com/wp-content/uploads/2011/06/VF_D_EX1-2-3.rar

Le fichier source du programme Fortran pour résoudre une diffusion en 2D.

http://www.abbesazzi.com/wp-content/uploads/2011/06/Diffusion-2D-VF_CASE01-05.rar

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5 réponses à La méthode des volumes finis – 01

  1. HADEF Amar univ. Oum El Bouaghi dit :

    Durant les JM 08 de l’EMP, j’ai eu le grand honneur de faire connaissance avec un professeur qui est très modeste, très généreux, très polit c’est le professeur AZZI Abess, et merci pour votre site.
    cordialement

  2. khelif abdelgheffar dit :

    baraka alaho fik ç parfait

  3. Toufik dit :

    Essalamu alikum
    trés intéressant merci M.Azzi
    Cordialement

  4. laouche nassim dit :

    je vous remercie pour toutes informations

  5. lazzouni dit :

    merci mr abassi sur le site , je veux des documentation sur le dévlepoment du rgime thermique dans une conduite, merci.

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